Bab 8. Kubus Dan Balok

 A. Mengenal Bangun Ruang

 1. Mengenal Berbagai Macam Bangun Ruang

                                                          

( a )

( b )

( c )

( d )

( e )

( f )

( g )

( h )

             Nama bangun - bangun tersebut adalah :

a. Kubus                                                e. Limas segitiga

b. Balok                                                 f. Limas segi empat

c. Prisma segitiga                                g. Limas segi lima

d. Tabung                                              h. Kerucut

2. Mengenal Sisi, Rusuk, dan Titik Sudut Kubus maupun Balok

Kubus ABCD.EFGH dibatasi oleh bidang ABCD, ABFE,
BCGF, CDHG, ADHE, dan EFGH. Bidang-bidang tersebut disebut
sisi-sisi kubus ABCD.EFGH. Selanjutnya, AB , BC, CD , AD ,
EF , FG , GH , EH , AE , BF , CG , dan DH disebut rusuk-rusuk
kubus ABCD.EFGH. Coba kalian amati bahwa tiap sisi
kubus tersebut dibatasi oleh rusuk-rusuk.
 
Rusuk-rusuk AB , BC , CD , dan AD disebut rusuk alas,
sedangkan rusuk AE , BF , CG , dan DH disebut rusuk tegak.

Titik-titik A, B, C, D, E, F, G, dan H disebut titik sudut kubus
ABCD.EFGH.



        Sekarang dapat disimpulkan bahwa terdapat hubungan antara banyak sisi, banyak rusuk, dan banyak titik sudut pada bangun tersebut.
                                                           S + T = R + 2
                                        dengan
                                                         S = banyak sisi
                                                         T = banyak titik sudut
                                                          R = banyak rusuk
Rumus di atas dikenal dengan teorema Euler.

3. Bangun dari Sisi Kubus dan balok

Untuk memahami bentuk bangun dari tiap sisi kubus, ini adalah contoh dari jaring-jaring kubus :

(a)

(b)

 

 Dengan melipat bangun tersebut pada garis putus-putus, akan
terbentuk bangun ruang seperti gambar (b). Bangun ruang
tersebut selanjutnya dinamakan kubus.

Perhatikan bahwa enam daerah persegi pada Gambar
(a) menjadi enam sisi kubus seperti pada Gambar (b). Dari
uraian tersebut dapat disimpulkan bahwa sebuah kubus memiliki
enam sisi berbentuk persegi yang kongruen.

 

4. Rusuk-Rusuk yang Sejajar pada Bangun Ruang

  Pada sebuah bidang datar, dua garis dikatakan sejajar jika kedua garis tersebut tidak berpotongan.

Gambar 8.6

Perhatikan Gambar 8.6. Pada balok ABCD.EFGH tersebut,
pasangan ruas garis yang sejajar antara lain :

a. AB dengan DC;
b. AE dengan BF ;
c. EH dengan FG .



Adapun pasangan ruas garis yang tidak sejajar antara lain
a. AB dengan CG ;
b. AE dengan DC;
c. BC dengan DH .

  Jika dua garis dalam suatu bangun ruang tidak berpotongan
terletak pada bidang yang berlainan maka kedua garis tersebut
dikatakan bersilangan.

Jadi, dapat disimpulkan sebagai berikut.
Dua garis dalam suatu bangun ruang dikatakan sejajar, jika
kedua garis itu tidak berpotongan dan terletak pada satu
bidang.

Gambar 8.7

perhatikan kubus KLMN.OPQR pada Gambar 8.7.
Ruas garis yang sejajar pada kubus KLMN.OPQR :

a. KL//NM//OP //RQ;
b. KN// LM// PQ//OR;
c. KO// LP//MQ// NR.








5. Mengenal Diagonal Bidang, Diagonal Ruang, dan Bidang Diagonal

• Diagonal bidang suatu balok adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan pada setiap bidang atau sisi balok.

• Diagonal ruang pada balok adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan dalam suatu ruang.

• Bidang diagonal suatu balok adalah bidang yang dibatasi oleh dua rusuk dan dua diagonal bidang suatu balok.

• Suatu balok memiliki enam bidang diagonal yang berbentu persegi panjang dan tiap pasangnya kongruen

 Sifat-sifat kubus ABCD.EFGH sebagai berikut. 

1. Memiliki 6 sisi (bidang) berbentuk persegi yang saling kongruen. Sisi (bidang) tersebut adalah bidang ABCD, ABFE, BCGF, CDHG, ADHE, dan EFGH.    
2. Memiliki 12 rusuk yang sama panjang, yaitu AB , BC, CD ,AD , EF , FG , GH , EH , AE , BF , CG , dan DH .Rusuk-rusuk AB , BC , CD, dan AD disebut rusuk alas,sedangkan rusuk AE , BF , CG, dan DH disebut rusuk tegak.  Rusuk-rusuk yang sejajar di antaranya AB // DC // EF // HG .Rusuk-rusuk yang saling berpotongan di antaranya AB dengan
   AE , BC dengan CG , dan EH dengan HD .
   Rusuk-rusuk yang saling bersilangan di antaranya AB dengan
   CG , AD dengan BF , dan BC dengan DH .
3. Memiliki 8 titik sudut, yaitu A, B, C, D, E, F, G, dan H.
4. Memiliki 12 diagonal bidang yang sama panjang, di antaranya AC , BD , BG , dan CF .
5. Memiliki 4 diagonal ruang yang sama panjang dan berpotongan di satu titik, yaitu AG , BH , CE , dan DF .
6. Memiliki 6 bidang diagonal berbentuk persegi panjang yang saling kongruen, di antaranya bidang ACGE, BGHA, AFGD, dan BEHC. 

Sekarang perhatikan Gambar 8.11.
Sifat-sifat balok ABCD . EFGH sebagai berikut.

Gambar 8.11

1.  Memiliki 6 sisi (bidang) berbentuk persegi panjang yang tiap pasangnya kongruen. Sisi (bidang) tersebut adalah bidang PQRS, TUVW, QRVU, PSWT, PQUT, dan SRVW.
2. Memiliki 12 rusuk, dengan kelompok rusuk yang sama panjang sebagai berikut. (i) Rusuk PQ = SR = TU = WV. (ii) Rusuk QR = UV = PS = TW. (iii) Rusuk PT = QU = RV = SW.
3. Memiliki 8 titik sudut, yaitu titik P, Q, R, S, T, U, V, dan W.
4. Memiliki 12 diagonal bidang, di antaranya PU , QV , RW , SV , dan TV .
5. Memiliki 4 diagonal ruang yang sama panjang dan berpotongan di satu titik, yaitu diagonal PV , QW, RT , dan SU . 
6.  Memiliki 6 bidang diagonal yang berbentuk persegi panjang dan tiap pasangnya kongruen. Keenam bidang diagonal tersebut adalah PUVS, QTWR, PWVQ, RUTS, PRVT, dan QSWU.
7.  

B. MODEL KERANGKA SERTA JARING-JARING KUBUS DAN BALOK

1. Model Kerangka Kubus dan Balok

•   Jika sebuah balok berukuran panjang = p, lebar = l, dan tinggi = t maka jumlah panjang rusuknya = 4p + 4l + 4t

                                             = 4(p + l + t)

• Jika panjang rusuk sebuah kubus adalah s maka jumlahpanjang rusuknya = 12s.

2. Jaring-Jaring Kubus dan Balok

• Jaring-jaring kubus adalah sebuah bangun datar yang jika dilipat menurut ruas-ruas garis pada dua persegi yang berdekatan akan membentuk bangun kubus.

• Jaring-jaring balok adalah sebuah bangun datar yang jika dilipat menurut ruas-ruas garis pada dua persegi panjang yang berdekatan akan membentuk bangun balok.

C. LUAS PERMUKAAN SERTA VOLUME KUBUS DAN BALOK.

1. Luas Permukaan Kubus dan Balok
  
  Luas permukaan kubus dan balok adalah jumlah seluruh sisi kubus atau balok.

Rusuk kubus s, maka luas setiap sisi kubus = s2. Dengan demikian, luas permukaan kubus = 6s2.

• L = 6s2, dengan L = luas permukaan kubus,  s = panjang rusuk kubus

Untuk menentukan luas permukaan balok.

Gambar 8.15

•  Balok pada Gambar 8.15 mempunyai tiga pasang sisi yang
  tiap pasangnya sama dan sebangun =

(a) sisi ABCD sama dan sebangun dengan sisi EFGH;
(b) sisi ADHE sama dan sebangun dengan sisi BCGF;
(c) sisi ABFE sama dan sebangun dengan sisi DCGH.





diperoleh

1. luas permukaan ABCD = luas permukaan EFGH = p x l
2. luas permukaan ADHE = luas permukaan BCGF = l x t
3. luas permukaan ABFE = luas permukaan DCGH= p x t

•  L = 2(p x l) + 2(l x t) + 2(p x t) = 2{(p x l) + (l x t) + (p x t)}
  dengan 
• L = luas permukaan balok
  p = panjang balok
  l = lebar balok
  t = tinggi balok

 
 
2. Volume Kubus dan Balok

• V kubus = rusuk x rusuk x rusuk

             = s x s x s             = s3

• V  balok= panjang x lebar x tinggi

              = p x l x t

• Contoh soal :

1. Sebuah kubus memiliki panjang rusuk 5 cm. Tentukan volume kubus itu.
 
Penyelesaian:
Panjang rusuk kubus = 5 cm.
Volume kubus = s x s x s
                          = 5 x 5 x 5
                           = 125
Jadi, volume kubus itu adalah 125 cm3.

 2. Volume sebuah balok 120 cm3. Jika panjang balok 6 cm dan lebar balok 5 cm, tentukan tinggi balok tersebut.
 
Penyelesaian:
Misalkan panjang balok = p = 6 cm, lebar balok = l = 5 cm,
dan tinggi balok = t.
Volume balok = p x l x t
                 120 = 6 x 5 x t
                 120 = 30 x t
                       t = 4
Jadi, tinggi balok tersebut adalah 4 cm


3. Menentukan Luas Permukaan dan Volume Kubus serta Balok jika Ukuran Rusuknya Berubah

•  suatu kubus = s, luas permukaan = L, dan volume = V, kemudian panjang rusuk kubus itu diperbesar atau diperkecil k kali maka

(a) Lbaru = 6(ks x ks) = 6k2s2
= k2 x 6s2
= k2L
dengan L. baru = luas permukaan kubus setelah diperbesar atau diperkecil 

L = luas permukaan kubus semula

(b)Vbaru = ks x ks x ks = k3s3 = k3V
dengan Vbaru = volume kubus setelah diperbesar atau
diperkecil
V = volume kubus semula

• Suatu balok memiliki panjang = p, lebar = l, tinggi = t, luas permukaan = L, dan volume = V. Balok itu kemudian diubah ukurannya menjadi panjang = ap, lebar = bl, dan tinggi = ct dengan a, b, c konstanta positif.

 (a) L. baru = 2(( ap x bl ) + (bl x ct ) + ( ap x ct ))
                    = 2 ( ab ( p x l ) + bc ( l x t ) + ac ( p x t ))
 (b) V. baru = ap x bl x ct
                     = abc ( p x l x t )

• Rangkuman

1. Kubus dan balok, masing-masing memiliki 6 sisi, 12 rusuk, dan 8 titik sudut.
2. Suatu kubus memiliki 6 sisi berbentuk persegi yang kongruen.
3. Suatu balok mempunyai 3 pasang sisi berbentuk persegi panjang yang setiap pasangnya kongruen.
4. Dua garis dalam suatu bangun ruang dikatakan sejajar, jika kedua garis itu tidak berpotongan dan terletak pada satu bidang.
5. Diagonal bidang suatu kubus atau balok adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan pada setiap bidang kubus atau balok.
6. Diagonal ruang suatu kubus atau balok adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan dalam suatu ruang.
7. Bidang diagonal suatu kubus atau balok adalah bidang yang dibatasi dua rusuk dan dua diagonal bidang suatu kubus atau balok.
8. Jika panjang rusuk suatu kubus a maka jumlah panjang rusuknya = 12a.
9. Jika sebuah balok berukuran panjang = p, lebar = l, dan tinggi = t maka jumlah panjang rusuknya = 4(p + l + t).
10. Luas permukaan kubus = 6s2. Volume kubus = s3.
11. Luas permukaan balok = 2 {( p x l )+( l x t )+( p x t )}. Volume = p x l x t